Уравнения и неравенства со знаком модуля

Уравнения и неравенства с модулем

уравнения и неравенства со знаком модуля

Таким образом, мы считаем, что изучение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, является необходимым в курсе элементарной. Практическая тетрадь «Решение уравнений и неравенств, содержащих переменные под знаком модуля» предназначена в первую. Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля.

Решив данную систему получим ответ Ответ: Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условиена этом промежутке знаменатели обеих дробей равны.

Получим систему равносильную исходному уравнению: Полученное уравнение нетрудно решить одним из основных методов, таким образом получив ответ исходного уравнения Ответ: Свернём подкоренные выражения слагаемых по формулам квадратов суммы и разности и применим вышеупомянутое тождество: Продемонстрируем решение неравенства, применяя теорему о знаках, формулировка которой следующая: Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

Рассмотрим решение неравенства путём домножения на положительных множитель.

уравнения и неравенства со знаком модуля

Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство: Решив полученное рациональное неравенство методом интервалов получим решение первоначального неравенства Ответ: Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметры рационально решать одним из основных методов, а именно графическим.

Продемонстрируем решение сложной задачи с параметром, содержащую уравнение с модулем. Найти такие значения параметрапри которых уравнение имеет ровно корней [4].

уравнения и неравенства со знаком модуля

Построив график функции используя правило построения графиков функций вида и рассмотрев все случаи, в зависимости от параметра легко увидеть, что искомое равенство достигается только в случае рис. Таким образом, мы продемонстрировали многообразие способов и приёмов решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, и выделили наиболее рациональные в тех или иных случаях.

уравнения и неравенства со знаком модуля

Заключение В данной работе изложены вопросы, касающиеся понятия абсолютной величины числа, уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Выделена типология уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной велечины: Обобщение методов, используемых в решении задач по теме нашего исследования, позволило выделить следующие приёмы, упрощающие решение уравнений и неравенств с модулем: Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств: К сожалению, корни там будут не оч: Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: И вот тут нас ждёт подстава.

От ответа на этот вопрос будет зависеть расстановка точек на числовых прямых и, собственно, ответ.

Решение неравенств с модулем

Случай некрасивых корней Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств. Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный и очень серьёзный урок.

уравнения и неравенства со знаком модуля

А мы идём. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения: Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет.

Алгебра 8 класс. Уравнения с модулями

Прежде всего нас будет интересовать возведение в квадрат — он сжигает модули и корни: Но это совсем другая история это как бы иррациональные уравненияпоэтому не будем сейчас в это углубляться. Давайте лучше решим парочку задач: Сразу заметим две вещи: Точки на числовой прямой будут выколоты. Обе стороны неравенства заведомо неотрицательны это свойство модуля: Следовательно, можем возвести обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от модуля и решать задачу обычным методом интервалов: Дальше можно перенести всё вправо и расписать разность квадратов.

Переходим от неравенства к уравнению: Избавление от знака модуля Напомню для особо упоротых: И закрашиваем области, требуемые в том же неравенстве. Ну вот и всё. Делаем всё то же.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ - Студенческий научный форум

Я не буду комментировать — просто посмотрите на последовательность действий. Ответ — целый интервал Ответ: Небольшое замечание насчёт последней задачи. Как точно подметил один мой ученик, оба подмодульных выражения в данном неравенстве заведомо положительны, поэтому знак модуля можно без ущерба для здоровья опустить.

Но это уже совсем другой уровень размышлений и другой подход — его условно можно назвать методом следствий. О нём — в отдельном уроке.

уравнения и неравенства со знаком модуля

А сейчас перейдём к финальной части сегодняшнего урока и рассмотрим универсальный алгоритм, который работает. Даже тогда, когда все предыдущие подходы оказались бессильны.: Метод перебора вариантов А что, если все эти приёмы не помогут? Если неравенство не сводится неотрицательным хвостам, если уединить модуль не получается, если вообще боль-печаль-тоска?

Применительно к неравенствам с модулем выглядит он так: Выписать все подмодульные выражения и приравнять их к нулю; Решить полученные уравнения и отметить найденные корни на одной числовой прямой; Прямая разобьётся на несколько участков, внутри которого каждый модуль имеет фиксированный знак и потому однозначно раскрывается; Решить неравенство на каждом таком участке можно отдельно рассмотреть корни-границы, полученные в пункте 2 — для надёжности. Результаты объединить — это и будет ответ.: Выписываем подмодульные выражения, приравниваем их к нулю и находим корни: Разбиение числовой прямой нулями подмодульных функций Рассмотрим каждый участок отдельно.

  • Проект: "Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля"
  • Уравнения и неравенства с модулем
  • Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Тогда оба подмодульных выражения отрицательны, и исходное неравенство перепишется так: Решений на этом участке. Отдельно рассмотрим пограничный случай: Просто подставим это число в исходное неравенство и проверим: И вновь частный случай: Подставляем в исходное неравенство: Мы нашли интервал, который и будет ответом.